Wróćmy do matematyki. Jeżeli współczynnik R0>1, to mamy do czynienia z przyrostem wykładniczym liczby zakażonych. Wynika to z tego, że jeżeli przykładowo jedna chora osoba zakaża średnio trzy kolejne (R0=3), to te trzy zakażą trzy kolejne, każda z nich z kolei trzy inne itp. Zatem po trzech rundach zakażeń będziemy mieć 27 zakażonych, a po dziesięciu – ponad 60 tys. Ważne, żeby zrozumieć, że parametr R0 determinuje trajektorię, a więc tempo i skalę epidemii – musi być większy niż 1, żeby epidemia się rozwijała. Jeżeli R0<1, to epidemia zanika, bo z czasem zakażonych będzie coraz mniej.
Przyrost zakażonych osób nie będzie jednak trwał w nieskończoność, bo żadna populacja nie jest nieskończenie duża. Poza tym nasz układ odpornościowy „pamięta” wcześniejsze infekcje dzięki specjalistycznym przeciwciałom i przy ponownym zakażeniu szybko zneutralizuje wirusa, zanim ten zdąży się namnożyć. Dlatego liczba zakażonych wzrasta tak długo, jak długo wirus ma możliwość przedostawać się z osoby na osobę. Kiedy drogi zakaźne zostaną odcięte – na przykład przez wytworzenie przeciwciał w populacji lub całkowitą izolację społeczną – zakażonych zacznie ubywać i epidemia zaniknie (patrz ilustracja poniżej). Dlatego o R0 możemy mówić tylko na początku epidemii, kiedy wszyscy dookoła są podatni na zakażenie, a potem mówimy o efektywnym współczynniku reprodukcji, R. Im więcej osób wyzdrowieje i nabierze odporności, tym bardziej R spada aż do momentu, kiedy R<1 i epidemia zacznie zanikać. Ile osób musi nabyć odporność, żeby tak się stało? To również można policzyć matematycznie. Jeżeli R0=3, to jedna osoba zakażona zaraża średnio trzy osoby. Żeby epidemia zaczęła zanikać (R<1), średnio osoba zakażona powinna zarażać mniej niż jedną osobę, a więc przynajmniej dwie z tych trzech osób muszą być odporne na infekcję, co daje 67 proc. Jeżeli R0=5, musi to być 80 proc.; jeżeli R0=20 – 95 proc., itp. Matematycznie można to określić progiem 1-1/R0. Ten próg matematyczny nazywa się „odpornością zbiorowiskową” (ang. herd immunity).
Magiczny próg
Chyba żaden zwrot nie budzi podczas obecnej pandemii tyle emocji, co odporność zbiorowiskowa. Warto jednak zatrzymać się na chwilę, żeby zrozumieć, czym ona jest. Przede wszystkim samo istnienie ścisłego progu jest konsekwencją matematycznego sformułowania problemu. W takim modelu zakładamy, że każdy z nas ma takie samo prawdopodobieństwo zakażenia innej osoby. W rzeczywistości tak oczywiście nie jest – nasze kontakty są bardzo niejednorodne, w gęsto zaludnionych miastach ludzie mają ze sobą więcej styczności niż w górach, a niektórzy dużo skuteczniej roznoszą zarazki niż inni z powodów, których nie do końca rozumiemy.